Markaziy kuch

Klassik mexanikada ob’ekt ustidagi markaziy kuch — bu kuch markazi deb ataladigan nuqta tomon yoki undan uzoqroqqa yoʻnaltirilgan kuch.

${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}$

bu yerda ${\textstyle {\vec {F}}}$ kuch, F — vektor qiymatli kuch funksiyasi, F — skalyar qiymatli kuch funktsiyasi, r — pozitsiya vektori, || r || uning uzunligi va ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$ mos keladigan birlik vektoridir .

Barcha markaziy kuch maydonlari konservativ yoki sferik simmetrik emas. Biroq, markaziy kuch, agar u sferik simmetrik yoki aylanma oʻzgarmas boʻlsa, konservativ hisoblanadi.

Xususiyatlari

Konservativ boʻlgan markaziy kuchlar har doim potentsial energiyaning salbiy gradienti sifatida ifodalanishi mumkin:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )\;{\text{, bunda }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r$

(integratsiyaning yuqori chegarasi ixtiyoriydir, chunki potentsial qoʻshimcha konstantagacha aniqlanadi).

Konservativ sohada umumiy mexanik energiya (kinetik va potentsial) saqlanadi:

$E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}$

(bu yerda „ r“ vaqtga nisbatan „ r“ hosilasini, yaʼni tezlikni, „ I“ bu jismning inersiya momentini, „ω“ esa burchak tezligini bildiradi), markaziy kuch maydonida esa shunday burchak momentum:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}$

chunki kuch taʼsir qiladigan moment nolga teng. Natijada, jism burchak impuls vektoriga perpendikulyar boʻlgan va boshni oʻz ichiga olgan tekislikda harakat qiladi va Keplerning ikkinchi qonuniga boʻysunadi. (Agar burchak momenti nolga teng boʻlsa, jism uni koordinata bilan bogʻlaydigan chiziq boʻylab harakatlanadi.)

Har qanday markaziy kuch taʼsirida harakatlanuvchi jism Keplerning ikkinchi qonuniga boʻysunishini ham koʻrsatish mumkin. Biroq, birinchi va uchinchi qonunlar Nyutonning butun dunyo tortishish qonunining teskari kvadrat tabiatiga bogʻliq va boshqa markaziy kuchlar uchun umuman amal qilmaydi.

Konservativ boʻlish natijasida bu oʻziga xos markaziy kuch maydonlari irrotatsiondir, yaʼni uning burilishi nolga teng, faqat boshlangʻichdan tashqari :

$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} .$

Misollar

Gravitatsion kuch va Kulon kuchi ikkita tanish misoldir $F(\mathbf {r} )$ faqat 1/ r ² ga proportsional boʻlish. Bunday kuch maydonidagi ob’ekt salbiy bilan $F(\mathbf {r} )$ (jozibali kuchga toʻgʻri keladi) Keplerning sayyoralar harakati qonunlariga boʻysunadi.

Fazoviy garmonik osilatorning kuch maydoni markaziy hisoblanadi $F(\mathbf {r} )$ faqat r ga proportsional va manfiy.

Bertran teoremasiga koʻra, bu ikki, $F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}$ va $F(\mathbf {r} )=-kr$, barcha chegaralangan orbitalar barqaror yopiq orbitalar boʻlgan yagona mumkin boʻlgan markaziy kuch maydonlari. Biroq, baʼzi yopiq orbitalarga ega boʻlgan boshqa kuch maydonlari ham mavjud.

Manbalar

• Taylor, John R. (2005). Classical Mechanics. Sausalito, CA.: Univ. Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
• Eric W. Weisstein (1996-2007). „Central Force“. ScienceWorld. Wolfram Research. Retrieved 2008-08-18.